Arrow versuchte, eine Möglichkeit zu finden, individuelle Präferenzen relativ zu verallgemeinern (d.h. ein faires Wahlsystem zu schaffen). Aber er hatte keinen Erfolg; es war nicht, weil er es schlecht versucht hatte, sondern weil es wegen der getroffenen Annahmen unmöglich war. Arrow hat den Satz des Unmöglichen mathematisch streng formuliert. Traditionell wird dieser Satz als Theorem der Unmöglichkeit der Demokratie bezeichnet, manchmal auch als Pfeilparadoxon: N (mehr als zwei) Individuen werden innerhalb des Theorems betrachtet; zum Beispiel Bürger eines Landes, Bewohner eines Mehrfamilienhauses oder eine Gruppe von Freunden. Sie haben mehrere Alternativen, zum Beispiel Präsidentschaftskandidaten, Optionen für Hausreparaturen oder Möglichkeiten, den freien Tag gemeinsam zu verbringen. Es ist wichtig, dass es nur eine Alternative gibt, die umgesetzt werden kann, sie muss gemeinsam gewählt werden. Unter der Bedingung des Theorems wird angenommen, dass jeder Einzelne diese Alternativen nach Belieben gestalten kann. Nehmen wir an, wir haben Präferenzlisten von allen Personen gesammelt (über die abgestimmt wurde) und wir wollen eine gemeinsame Präferenzliste auf diesen Listen aufbauen. Mit anderen Worten, auf der Grundlage der individuellen Präferenzen, um eine kollektive zu entwickeln. Also versuchte Arrow, es streng mathematisch zu tun. Universalität: Jeder Wähler gibt eine und nur eine Liste seiner Präferenzen an, aber er oder sie ist frei, die Alternativen nach seinen Wünschen zu bestellen. Abwesenheit eines Diktators: die allgemeine Liste der Präferenzen sollte nicht von nur einer Person festgelegt werden, ohne die Präferenzen aller anderen zu berücksichtigen, unabhängig von fremden Alternativen. Diese Eigenschaft kann auf unterschiedliche Weise formuliert werden, z.B. wenn der Kandidat A in der allgemeinen Präferenzliste höher als der Kandidat B ist und dann der Kandidat X in die Anzahl der Kandidaten aufgenommen wird (oder umgekehrt jemand durchgestrichen wurde), aber immer noch höher als V. Einstimmigkeit: wenn alle Wähler A über B stellen, dann sollte in der allgemeinen Präferenzliste A höher stehen als B. Arrow bewies weiterhin mathematisch, dass es kein Wahlsystem gibt, das alle diese Anforderungen erfüllt. "Anscheinend vernünftige" Annahmen sind einen genaueren Blick wert. Wir wissen jetzt, dass wir nicht rational handeln, wenn wir Entscheidungen treffen. Manchmal können wir nicht entscheiden, welche Option besser ist, wir können keine Alternativen vergleichen. Es kommt vor, dass es Präferenzen gibt, aber sie sind nicht flüchtig: zum Beispiel bevorzuge ich Eiscremebrei, Kotelett und Eiscremekotelett; solche Präferenzen können nicht bestellt werden. Präferenzen können sich schnell ändern. Wir wissen jetzt, dass die Unabhängigkeit von fremden Alternativen auch unrealistisch ist, und haben gelernt, dies in der Praxis zu berücksichtigen: in sehr wichtigen Fällen erfolgt die Abstimmung in zwei Durchgängen. Erhält keiner der beiden Kandidaten mehr als die Hälfte der Stimmen, wählt er die beiden erfolgreichsten aus und wählt nur unter diesen beiden Alternativen. So lag beispielsweise in der ersten Runde A auf Platz eins und B auf Platz zwei. Wir haben alle anderen Alternativen abgelehnt und die zweite Runde durchgeführt: es kann vorkommen, dass jetzt B den ersten Platz belegt.