Die Bayes-Falle ist ein unorthodoxer Begriff, aber er hat mir gefallen. Klingt schön, obwohl Bayes nichts über irgendwelche Fallen gesagt hat.

Vor einem halben Jahrhundert wurde Bayes' Falle unter Ärzten entdeckt. Sie haben die Testergebnisse falsch interpretiert.

Einige Laboruntersuchungen garantieren kein 100%iges Ergebnis: Manchmal zeigen die Testergebnisse nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit den wahren Sachverhalt. Sagen wir, ein Test für eine Krankheit kann Ihnen...

1) ein positives Ergebnis (der Test weist die Krankheit bei einer kranken Person nach).

2) korrekt negatives Ergebnis (der Test weist keine Krankheit bei einer gesunden Person nach)

3) ein falsches Positiv (der Test zeigt die Krankheit bei einer gesunden Person).

4) falsch negatives Ergebnis (der Test weist keine Krankheit bei einer kranken Person nach).

Die Tests sollen die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse 3 und 4 verringern, weil sie uns in die Irre führen. Wir können nicht die Wahrscheinlichkeiten von beiden gleichzeitig reduzieren. Wenn der Test sehr empfindlich ist (er funktioniert bei den geringsten Krankheitszeichen), verringert er die Wahrscheinlichkeit eines falsch negativen Ergebnisses, erhöht aber die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses. Und umgekehrt.

Die Kosten des Fehlers mit einem falschen Negativ (das Zeichen einer schweren Krankheit in einem frühen Stadium übersehen) sind hoch - eine schwere Entwicklung der Krankheit. Die Kosten für ein falsches Positiv (man sagt einem gesunden Menschen, dass er krank ist) sind noch geringer - der Verlust von Nerven, Zeit und Geld. Deshalb sollte bei der Entwicklung von Tests die Wahrscheinlichkeit eines falsch negativen Ergebnisses aufgrund eines geringen Anstiegs der Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses verringert werden.

So sehen die Ergebnisse einer Umfrage unter 1024 Personen für eine seltene Krankheit aus:

10 Patienten, d.h. 1% der untersuchten Patienten, sind mit hellen Zellen markiert. Bei 8 von ihnen offenbarte der Test die Krankheit (leuchtend orangefarbene Zellen), 2 verfehlten sie (leuchtend blaue Zellen, falsch negatives Ergebnis). Blasse Zellen sind gesunde Menschen (1014 Personen), bei 10% (101) zeigte der Test die Krankheit (blasse orange Zellen, falsch positives Ergebnis), und bei den restlichen (913) wurde die Krankheit nicht entdeckt.

Dieses Szenario zeigt, dass es überhaupt nicht wahrscheinlich ist, dass es zwei solche Situationen gibt:

A: Wenn eine Person krank ist, dann ist das Testergebnis positiv.

F: Wenn das Testergebnis positiv ist, ist die Person krank.

Es stimmt, dass die Wahrscheinlichkeit A 8/10 = 0,8 beträgt - der Anteil der hellorangen Zellen an allen hellen Zellen,

und die Wahrscheinlichkeit B ist 8/(8+101) = 0,07, d.h. der Anteil der hellorangen Zellen unter allen orangefarbenen Zellen.

Vor 50 Jahren zeigten speziell organisierte Studien, dass Ärzte diese Situationen oft verwechseln, und nur 15% der Ärzte können die Wahrscheinlichkeiten richtig einschätzen. Das ist der Fehler, zu dem die Bayes-Falle führt. Der Name der Baize-Falle wurde ihr nach der Baize-Formel gegeben, die die Wahrscheinlichkeit der Ursache mit der Wahrscheinlichkeit der Ursache mit einer bestimmten Folge verknüpft.

Die Bayes-Falle ist besonders scharf, wenn es sich um eine seltene und schwere Krankheit handelt. Wenn es sich um eine seltene Erkrankung handelt, ist die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung sehr gering, und wenn es sich um eine schwere Erkrankung handelt, ist der Test so konzipiert, dass die Wahrscheinlichkeit falsch negativer Ergebnisse aufgrund der Wahrscheinlichkeit falsch positiver Ergebnisse reduziert wird.

Ich hoffe, dass die Ärzte seither bereits besser ausgebildet wurden, um all dies zu verstehen.

Das ist dann der Fall, wenn Menschen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses falsch einschätzen.

Ein klassisches Beispiel für eine Falle ist das so genannte Monty-Hall-Paradoxon.

Das Wesen des Paradoxons:

Sie befinden sich in einem Spiel wie "Field of Miracles". Vor Ihnen liegen drei Türen in einem Superspiel. Auf zwei von ihnen folgt eine Ziege, und auf den dritten folgt AAAAA! Sie wissen nicht, wo was ist, und der Gastgeber weiß es immer. Als nächstes wählen Sie die Tür, aber der Moderator hat es nicht eilig, sie zu öffnen. Stattdessen öffnet er (so eine Infektion!) eine der verbleibenden Türen, zeigt Ihnen eine Ziege und fragt höflich: Wollen Sie Ihre Wahl ändern?

Die Frage ist: Was ist profitabler - die Wahl zu ändern und die zweite der verbleibenden Türen zu wählen oder die ursprüngliche Wahl zu belassen? Mit anderen Worten, in welchem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, höher?

Nun, intuitiv scheint es keinen Unterschied zu geben. Es sind noch zwei Türen übrig, was eine Chance auf den Gewinn eines 1/2 Wagens bedeutet. Doch dem ist nicht so. Wenn Sie nach der Bayes-Formel zählen, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit durch den Wechsel der Tür höher, nämlich 2/3.

Das entgegengesetzte Beispiel. Lassen Sie den Test machen (für Coronavirus, ja). Laut Statistik sind es etwa 1% der Bevölkerung. Die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses liegt bei 1%. Sie haben eine positive Analyse erhalten. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie tatsächlich krank sind? Es scheint, dass die Analyse mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% genau ist, so dass Sie genauso wahrscheinlich krank sind.

Und nein! Es besteht eine 50%ige Chance.

Lasst die Bevölkerung 100 Menschen sein. Einer von ihnen ist also statistisch gesehen krank. Und der andere hat ein falsches Positiv erhalten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, krank zu sein, beträgt tatsächlich 1/2 = 50%.

Das ist alles.