Die formalere Variante ist "vielen Dank". Er Begriffe "lieb" und "herzlich" nutzt man bei formalen Briefen eher nicht. "herzlichen Dank" wäre eher noch eine Möglichkeit, als "vielen herzlichen Dank". Das ist einfach too much.

"herzlichen Dank" gibt wieder, dass deine Dankbarkeit wirklich von Herzen kommt.

"lieben Dank" zeigt eher, dass man jemanden mag "liebgewonnen" hat.

Ich hoffe, das hat geholfen.

Der Begriff "herzlich" ist neutral und sagt nur aus, dass der Dank von Herzen kommt. Er kann auch bei unbekannten Menschen oder im Beruf, in dem man "per Sie" kommuniziert, verwendet werden.

Das Wort "lieb" wird eher verwendet, wenn du die Person magst und auch privat Kontakt mit ihr hast. Also kannst du es bei Freunden und Familie verwenden. Überlege dir einfach, ob du den Empfänger der Nachricht zur Begrüßung bedenkenlos umarmen würdest. Wenn nicht, ist "lieben Dank" nicht angebracht.

Du kanst vielen lieben Dank oder herzlichen Dank schreiben. Beides zeigt, dass du die Person gern hast.