Die formalere Variante ist "vielen Dank". Er Begriffe "lieb" und "herzlich" nutzt man bei formalen Briefen eher nicht. "herzlichen Dank" wäre eher noch eine Möglichkeit, als "vielen herzlichen Dank". Das ist einfach too much.

"herzlichen Dank" gibt wieder, dass deine Dankbarkeit wirklich von Herzen kommt.

"lieben Dank" zeigt eher, dass man jemanden mag "liebgewonnen" hat.

Ich hoffe, das hat geholfen.