Um zu verstehen, was die Mandelbrot-Menge ist, muss man sich ein geometrisches Modell einer komplexen Zahl vorstellen. Zu jeder komplexen Zahl, die nach einem Punkt auf einer Ebene gesetzt wird und im Gegenteil, hier so: in diesem Bild werden schwarze Punkte durch Buchstaben z mit Zahl bezeichnet und es wird aufgeschrieben, dass es für komplexe Zahl. Nehmen wir nun eine komplexe Zahl c und beginnen wir, die Funktion "square and add c" immer wieder anzuwenden: oder bei f(z)=z²+sI erhalten wir von jedem von ihnen eine Zahlenfolge, die Bahn des Punktes c. Es ist eine Iteration der gleichen Funktion. Das Verhalten solcher Sequenzen ist das Studium der Theorie der dynamischen Systeme. Die Hauptfragen dieser Theorie sind: Was ist das Schicksal der typischen Bahnen? Konvergieren sie auf irgendeinen Wert, laufen sie bis zur Unendlichkeit weg oder verhalten sie sich chaotisch? Das Mandelbrot-Set ist die geometrische Antwort auf diese Frage für die Funktion f. Malen wir die Punkte aus der komplexen Ebene, für die die Sequenz c, f(c), f(f(c), f(f(c)), f(f(f(f(c))), .... nicht bis zur Unendlichkeit geht, in Schwarz. Wir lassen den Rest der Punkte unbemalt. Wir werden viel Mandelbrot sehen: Es ist bekannt, dass sich viel Mandelbrot in einem Kreis von Radius 2 befindet. Wenn die Umlaufbahn eines Punktes irgendwann außerhalb dieses Kreises liegt, wird er nie wieder zurückkehren. Manchmal wird der Schönheit jeder Iteration eine Farbe zugeordnet, und dann wird jeder weiße Punkt in der Farbe der Iterationszahl gemalt, auf der seine Sequenz über den Kreis hinausging. Es erweist sich als wirklich schön: Mandelbrots Menge ist eines der berühmtesten Fraktale, es ist gut untersucht, aber noch nicht alles ist darüber bekannt. Zum Beispiel weiß niemand, wie sein Gebiet aussieht.