Die Theorie ist ein System des Wissens. Wir beweisen keine Theorien, wir beweisen Theoreme. Ein und derselbe Satz kann mehrere Beweise haben - einige schöne, andere nicht so gut. Oft in der Mathematik kommt es vor, dass der Entdecker des Theorems nicht der bequemste Weg ist und dass es möglich war, zu legen. Nur Follower können Schönheit bringen, Ideen klären und den Beweis klarer und einfacher machen. Welche Beweise finden wir schön und elegant? Wie in vielen anderen Bereichen bestimmt auch hier der persönliche Geschmack viel. Es scheint mir, dass elegante Beweise als natürlich angesehen werden sollten. Wenn Sie seine Grundideen lernen, wird es nicht schwer sein, die Beweise auf ihrer Grundlage wiederherzustellen. Du musst es nicht lernen: Es wird von selbst führen. Dazu sollten die Beweise nicht zu technisch sein, die Hauptideen sollten nicht zu viel sein, und es sollte nicht lange dauern. Dazu kommt ein eleganter Beweis, wenn auch natürlicher, aber auch unerwarteter und überraschender: Er offenbart neue Eigenschaften alter Objekte oder unerwartete Verbindungen zwischen Objekten. Alte Bekannte kommen uns und einander immer näher. Ein schöner Beweis ist schwer zu finden, leicht zu verstehen und unmöglich zu vergessen, zum Beispiel werde ich beweisen, dass Nummer 2 irrational ist. Das bedeutet, dass es nicht als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und Nenner dargestellt werden kann. Die erste Idee ist, das Gegenteil zu beweisen. Lassen Sie uns sagen, dass es einen solchen Bruch a/b gibt, dass a/b=√2. Wenn sie verkürzt wird, werden wir sie um alles Mögliche reduzieren (das ist die zweite wichtige Idee), und wir werden berücksichtigen, dass a und b die am wenigsten geeigneten Zahlen sind. Die dritte Idee ist, ein Quadrat mit der Seite a - der größten - zu zeichnen und darauf zwei kleinere Quadrate (blau), mit der Seite b, zu legen. Als Nächstes müssen Sie nur noch schauen: Alles ergibt sich von selbst. Aus a²=2b² verstehen wir, dass die Fläche der beiden blauen Felder gleich der Fläche des größten ist. Das bedeutet, dass die Fläche des zweimal bedeckten (grün) gleich der Fläche des unbedeckten (weiß) ist. So fanden wir ein grünes Quadrat, dessen Fläche der Summe der Flächen von zwei Weißen entspricht. Dies steht im Widerspruch zu dem, was wir am Anfang angenommen haben: dass die Zahlen a und b mit dieser Eigenschaft die kleinsten sind. Dieser Beweis führt zu sich selbst, er verbindet plötzlich Algebra mit Geometrie und kann nicht vergessen werden. Ich kann nicht vergessen:) Pal Erdősch, ein reisender Ritter der Mathematik, sagte, dass es ein Buch im Himmel gibt, das die schönsten Beweise für mathematische Theoreme enthält. Martin Aigner und Gunther Ziegler haben es sich angesehen und einige Beweise in ihrem Buch veröffentlicht, das so heißt: "Beweise aus dem Buch." Lies es auf jeden Fall!